直线恒过定点问题解题原理是什么?
令含参数部分的系数为0
例题:
不论m为何实数,直线(m-1)x-y+2m-1=0恒过定点为?
化简方程可以为:(x+2)m-x-y-1=0,当x=-2时,与m值无关,将x=-2带入方程,解得:y=1,恒过定点为(-2,1)
什么叫恒过一定点
就是无论曲线中的参数如何变化(取任何值),有一个固定的点都一直在此曲线上。
比如曲线: A(2x+y-3)+B(x-y)=0
无论A,B如何取值,曲线都经过点(1,1)。
这是因为X=1,Y=1代入等式,等式永远成立。
某直线恒过定点什么意思?
就是字面意思,这条直线的方程中可能含有变量,但是不管变量怎么变,这条直线都过一个定点
比如说直线恒过(a,b)
那么这条直线的方程可以写成 y - b = k(x - a)
什么叫恒过定点
求解直线过定点问题四法(1)取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值,这样就得到关于x,y的两个方程,从中解出x,y即为所求的定点,然后再将此点代入原方程验证即可。例1 求直线(m+1)x+(m-1)y-2=0所通过的定点P的坐标。解 令m=-1,可得y=-1;令m=1,可得x=1。将(1,-1)点代入原方程得(m+1) 1+(m-1)(-1)-2=0 成立,所以该定点P为(1,-1)。(2)由“y-y0=k(x-x0)”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k(x-x0)的形式,这样就证明了它所表示的所有直线必过定点(x0,y0)。例2 已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证不论k取任何实数值时,直线l必过定点,并求出这个定点的坐标。证明 由已知直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k ∴(k+1)x-k=(k-1)y+k (k+1)x-k-1=(k-1)y+k-1 (k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1)即因此当k≠1时,直线l的方程为直线的点斜式y-y0=k(x-x0)的当k=1时,原直线l的方程为x=1 综上所述,不论k取任何实数值时,直线l必过定点M(1,-1)。(3)方程思想若方程的解有无穷多个,则方程的系数均为0,利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程,然后利用系数为零求得。例3 若 2a-3b=1(a,b∈R),求证:直线 ax+by=5必过定点。解 由已知得 ax+by=5(2a-3b),即 a(x-10)+b(y-15)=0 无论a,b为何值上式均成立,所以a,b的系数同时为0。 (4)直线系观点过定点的直线系A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示通过两直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2∶A2x+B2y+C2=0交点的直线系,而这交点即为直线系所通过的定点。例4 求证对任意的实数m,直线(m-1)x+2(m-1)y=m-5必过定点。解 原式可整理为(x+2y-1)m-(www.DIAoYuc;HanG.COmx+y-5)=0
恒过定点
(2m+1)x+(m+1)y=7m+4
2mx+x+my+y=7m+4
(2x+y-7)m=-x-y+4
恒过某一定点就是与m无关
则当2x+y-7=0且-x-y+4=0时等式恒成立
此时与m无关
2x+y-7=0
-x-y+4=0
所以x=3,y=1
所以定点是(3,1)